Question

（1）若關(guān)于x的不等式-

1

2

x2+2x＞mx的解集為{x|0＜x＜2}，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）已知x，y都是正數(shù)，若4x+y=6，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,一元二次不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）原不等式可變?yōu)閤²-（4-2m）x＜0，由題意可得0，2是一元二次方程x²-（4-2m）x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（2）利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）原不等式可變?yōu)閤²-（4-2m）x＜0，
∵關(guān)于x的不等式-

1

2

x2+2x＞mx的解集為{x|0＜x＜2}，
∴0，2是一元二次方程x²-（4-2m）x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴0+2=4-2m，解得m=1，
∴實(shí)數(shù)m=1．
（2）∵x，y都是正數(shù)，4x+y=6，

1

x

+

1

y

=

1

6

(4x+y)(

1

x

+

1

y

)
=

1

6

(5+

4x

y

+

y

x

)≥

1

6

(5+2

4x y • y x

)=

3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=2時(shí)取等號(hào)．

∴

1

x

+

1

y

的最小值是

3

2

．．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解集與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．