Question

已知m∈R，函數f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（Ⅰ）若m=-1，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）沒有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得f'（x）=（x+2）（x-1）e^x，
令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的關系列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（-2）為極大值	↘	f（1）為極小值	↗

由表可得，f（x）在x=-2取到極大值f（-2）=，f（x）在x=-1取到極小值f（1）=-e．

（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0

因為函數f（x）沒有零點，所以△=m²-4m＜0

所以0＜m＜4

分析：（I）先求函數的導函數，然后研究導函數的符號，從而確定函數的極值點，代入函數解析式即可求出極值；
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0，根據函數f（x）沒有零點，可得△=m²-4m＜0，從而可求實數m的取值范圍．
點評：本題以函數為載體，考查利用導數研究函數的單調性，利用函數研究函數的極值，其中根據已知函數，求出函數的導函數是解答此類問題的關鍵．