Question

給定正整數n和正數b，對于滿足條件a₁-a²_n+1=b的所有無窮等差數列{a_n}，當a_n+1=

 

時，y=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1取得最大值．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：根據條件a₁-a²_n+1=b，表示出首項，利用等差數列的前n項和公式，結合二次函數的單調性的性質即可得到結論．

解答： 解：設公差為d，則a_n+1=a₁+nd，nd=a_n+1-a₁，
則y=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1為首項，d為公差的等差數列的前（n+1）項和，
則y=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a_n+1+

n(n+1)

2

d=（n+1）（a_n+1+

nd

2

）=（n+1）[a_n+1+

1

2

（a_n+1-a₁）]=

n+1

2

（3a_n+1-a₁），
∵a₁-a²_n+1=b，
∴a₁=a²_n+1+b，
∴3a_n+1-a₁=3a_n+1-（a²_n+1+b）=-（a_n+1-

3

2

）²+

9-4b

4

≤

9-4b

4

，
當且僅當a_n+1=

3

2

時取等號，
即y=

n+1

2

（3a_n+1-a₁）≤

n+1

2

•

9-4b

4

=

(n+1)(9-4b)

8

，
故答案為：

3

2

點評：本題主要考查等差數列的性質和前n項和的計算，利用條件轉化為二次函數形式是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．