Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=-3，數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，a_n=a_n-1-1（n∈N₊，且n≥2），則f（a₅）+f（a₆）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以通過函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)值f（0），再結(jié)合條件f（

3

2

-x）=f（x），推導(dǎo)出函數(shù)的周期為3，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的第五項(xiàng)和第六項(xiàng)，將f（a₅）+f（a₆）轉(zhuǎn)化為）=-f（5）-f（6），再轉(zhuǎn)化為求-f（2）-f（0），易得本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0．
∵函數(shù)f（x）滿足f（

3

2

-x）=f（x），
∴f（

3

2

-x）=f（x）=-f（-x），
令-x=t，則有：
f（

3

2

+t）=-f（t），
∴f（3+t）=-f（

3

2

+t），
∴f（3+t）=f（t），
∴函數(shù)f（x）的周期為3
∵f（-2）=-3，
∴-f（2）=-3，
∴f（2）=3．
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，a_n=a_n-1-1（n∈N₊，且n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a₁=-1，公差為-1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-1-（n-1）=-n．
∴a₅=-5，a₆=-6．
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-5）+f（-6）=-f（5）-f（6）=-f（2）-f（0）=-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題有一定的綜合性，但總體難度不大，屬于基礎(chǔ)題．