Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=

1

x

+a|1-lnx|．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論f（x）在（0，e）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，求出f（x）的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）a=1時，f(x)=

1

x

+|1-lnx|，x∈(0，e)，f(x)=

1

x

+1-lnx
則f′(x)=-

1

x2

-

1

x

，f′(1)=-2，f(1)=2，
則切線方程為y=-2x+4．
（2）x∈(0，e)，f(x)=

1

x

+a(1-lnx)，f′(x)=-

1

x2

-

a

x

=-

1+ax

x2

，
1⁰當(dāng)a≥0時，x∈（0，e），f'（x）＜0恒成立，則f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；
20當(dāng)-

1

a

≥e時，即-

1

e

≤a＜0，x∈（0，e），f'（x）＞0恒成立，
則f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；
30當(dāng)0＜-

1

a

＜e時，即a＜-

1

e

，當(dāng)x∈(0，-

1

a

)時f′(x)＜0，
則f(x)在(0，-

1

a

)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(-

1

a

，e)時f′(x)＞0，
則f(x)在(-

1

a

，e)上單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查函數(shù)切線的求解，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．