Question

設函數(shù)f（x）=ax-e^x，a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）存在兩個零點，求a的取值范圍；
（2）若對任意x∈R，a＞0．f（x）≤a²-ka恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=a-e^x，分a＞0與a＜0討論，從而可得當a＞0時，f（x）在x=lna處取得最大值f（lna）=alna-a，從而可得f（lna）=alna-a＞0，從而解a；
（2）由題意，對任意x∈R，a＞0．f（x）≤a²-ka恒成立可化為k≤a+1-lna恒成立，令g（a）=a+1-lna，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）f′（x）=a-e^x．
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在R上單調(diào)遞減，最多存在一個零點，不滿足條件；
當a＞0時，由f′（x）=0解得x=lna，當x＞lna時，f′（x）＜0，當x＜lna時，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lna處取得最大值f（lna）=alna-a，
∵f（x）存在兩個零點，
∴f（lna）=alna-a＞0，
∴a＞e，
即a的取值范圍是（e，+∞）；
（2）由（Ⅰ）知f（x）≤alna-a，故只需alna-a≤a²-ka，
即k≤a+1-lna．
令g（a）=a+1-lna，
g′（a）=1-

1

a

，
當a＞1時，g′（a）＞0；當a＜1時，g′（a）＜0．
故g（a）在a=1處取得最小值2，則k≤2，
即k的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的零點及恒成立問題，屬于中檔題．