Question

給定拋物線y²=2x，設(shè)A（a，0），a＞0，P是拋物線上的一點，且|PA|=d，試求d的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)P（x₀，y₀）代入拋物線方程，進而表示出|PA|，分別看當(dāng)0＜a＜1和a≥1時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得d的最小值．

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≥0），則y₀²=2x₀，
∴d=|PA|=

(x0-a)2+ y 2 0

=

(x0-a)2+2x0

=

[x0+(1-a)]2+2a-1

．
∵a＞0，x₀≥0，
∴（1）當(dāng)0＜a＜1時，1-a＞0，
此時有x₀=0時，
d_min=

(1-a)2+2a-1

=a．
（2）當(dāng)a≥1時，1-a≤0，
此時有x₀=a-1時，
d_min=

2a-1

．

點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生對拋物線與函數(shù)問題的綜合理解．