Question

已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log 

1

2

x＞

1

4

}
（1）求（∁_RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出A和B，再由補(bǔ)集、并集的運(yùn)算求出（∁_RB）∪A；
（2）根據(jù)子集的定義列出不等式，求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=3^x在定義域上是增函數(shù)，且3≤3^x≤27=3³，
所以1≤x≤3，則A={x|1≤x≤3}，
因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log

1

2

x在定義域上是減函數(shù)，且log 

1

2

x＞

1

4

=log

1

2

(

1

2

)

1

4

，
所以0＜x＜(

1

2

)

1

4

=

4 8

2

，則B={x|0＜x＜

4 8

2

}，即∁_RB={x|x≤0或x≥

4 8

2

}，
所以（∁_RB）∪A={x|x≤0或x≥

4 8

2

}；
（2）因?yàn)榧�合C={x|1＜x＜a}，且C⊆A={x|1≤x≤3}，
所以a≤1或

a＞1 a≤3

，即a≤3，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查補(bǔ)集、并集的混合運(yùn)算，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及子集的定義，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零、空集是任何集合的子集．