設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(2+x)=f(2-x),當x∈[-2,0)時,f(x)=數(shù)學公式-1,若在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的關(guān)于x的方程f(x)-logga(x+2)=0(a>0且a≠1)恰有4個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是


  1. A.
    數(shù)學公式,1)
  2. B.
    (1,4)
  3. C.
    (1,8)
  4. D.
    (8,+∞)
D
分析:在同一直角坐標系中作出f(x)與h(x)=loga(x+2)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的圖象,結(jié)合題意可得到關(guān)于a的關(guān)系式,從而得到答案.
解答:解:∵當x∈[-2,0)時,f(x)=-1,
∴當x∈(0,2]時,-x∈[-2,0),
∴f(-x)=-1=-1,又f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴f(x)=-1(0<x≤2),又f(2+x)=f(2-x),
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,且f(4+x)=f(-x)=f(x),
∴f(x)是以4為周期的函數(shù),
∵在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)恰有4個不同的實數(shù)根,
令h(x)=loga(x+2),即f(x)=h(x)=loga(x+2)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)有有4個交點,
在同一直角坐標系中作出f(x)與h(x)=loga(x+2)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的圖象,
∴0<loga(6+2)<1,
∴a>8.
故選D.
點評:本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷,求得f(x)的解析式,作出f(x)與h(x)=loga(x+2)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的圖象是關(guān)鍵,考查作圖能力與數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.
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1
2
 )=2
,則f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)
=
-2
-2

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