(本小題16分)設(shè)雙曲線:的焦點(diǎn)為F1,F2.離心率為2。
(1)求此雙曲線漸近線L1,L2的方程;
(2)若A,B分別為L(zhǎng)1,L2上的動(dòng)點(diǎn),且2,求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線。
(1)由已知雙曲線的離心率為2得:解得a2=1, ……2分
所以雙曲線的方程為, ……4分
所以漸近線L1,L2的方程為和=0 ……6分
(2)c2=a2+b2=4,得c=2 ,所以,
又2所以=10 ……8分
設(shè)A在L1上,B在L2上,設(shè)A(x1,,B(x2,-
所以即 ……10分
設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則x=,y=
所以x1+x2=2x , x1-x2=2y
所以整理得: ……14分
所以線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為:,軌跡是橢圓。 ……16分
【解析】
試題分析:(1)由已知雙曲線的離心率為2得:解得a2=1, ……2分
所以雙曲線的方程為, ……4分
所以漸近線L1,L2的方程為和=0 ……6分
(2)c2=a2+b2=4,得c=2 ,所以,
又2所以=10 ……8分
設(shè)A在L1上,B在L2上,設(shè)A(x1,,B(x2,-
所以即 ……10分
設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則x=,y=
所以x1+x2=2x , x1-x2=2y
所以整理得: ……14分
所以線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為:,軌跡是橢圓。 ……16分
考點(diǎn):本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),軌跡方程的求法。
點(diǎn)評(píng):點(diǎn)評(píng):求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題,本題利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,相關(guān)點(diǎn)法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程,通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題16分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和Sn,滿足 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè) ,是否存在正整數(shù)k,使得當(dāng)n≥3時(shí),如果存在,求出k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題16分)已知平面直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)原點(diǎn),,圓是 的外接圓,過(guò)點(diǎn)(2,6)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.
(I)求圓的方程及直線的方程;
(II)設(shè)圓的方程,,過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題16分)函數(shù)的定義域?yàn)閧x| x ≠1},圖象過(guò)原點(diǎn),且.
(1)試求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)已知各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列前n項(xiàng)和為,滿足,求證:
;
(3)設(shè),是否存在,使得
?若存在,求出,證明結(jié)論;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題16分)已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC的周長(zhǎng)為2+2.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡
為曲線W.
(1)直接寫(xiě)出W的方程(不寫(xiě)過(guò)程);
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, )且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,是否存在常數(shù)k,使得向量與向量共線?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)設(shè)W的左右焦點(diǎn)分別為F1、 F2,點(diǎn)R在直線l:x-y+8=0上.當(dāng)∠F1RF2取最大值時(shí),求的值.
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