Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

（a-4）x²+2（2-a）x+a的圖象與y軸的交點(diǎn)和原點(diǎn)的距離小于或等于1．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，對任意的a的可能取值，函數(shù)f（x）在該區(qū)間上都是單調(diào)遞增的？若存在，則求出這樣的區(qū)間，若不存在，則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)為（0，a），則|a|≤1，從而可求
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，由函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù)可得f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可求x的范圍

解答： 解：（1）函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)為（0，a），則|a|≤1，∴-1≤a≤1；
（2）f'（x）=x²+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x²-4x+4，
令f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，
其充要條件是：

g(1)=x2-3x+2＞0 g(-1)=x2-5x+6＞0

，解得x＜1，或x＞3．
所以當(dāng)x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0對任意a∈[-1，1]恒成立，
所以對任意a∈[-1，1]函數(shù)f（x）均是單調(diào)增函數(shù)．
故存在區(qū)間（-∞，1）和（3，+∞），對任意a∈[-1，1]，f（x）在該區(qū)間內(nèi)均是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù) 的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識得到f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立時，構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)進(jìn)行求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．