Question

【題目】已知數(shù)列滿足，時(shí)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，為定值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意首先證明出該數(shù)列為等比數(shù)列，并把數(shù)值代入到等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算出結(jié)果即可．

（2）由已知可證出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而分析可得出這是一個(gè)等差等比結(jié)構(gòu)，利用錯(cuò)位相減法求和可到，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，再對分情況然后結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法對上式進(jìn)行推理證明即可．

解：（1）當(dāng)時(shí)，．

數(shù)列是以，公比為2的等比數(shù)列．

所以．

（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，

∴．

令，∴

∴①

,

這是一個(gè)等差乘等比結(jié)構(gòu)，利用錯(cuò)位相減法求和

由②

兩式①②相減得

∴

∴于是

∴．

，為定值，時(shí)，也滿足，

因此，對任意，為定值3．

（2）（數(shù)學(xué)歸納法）令，

當(dāng)時(shí)，．

假設(shè)時(shí)命題成立，即．

即

由題設(shè)

．

所以，即時(shí)，命題也成立

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納原理，所命題得證．