設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
),其中A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的( 。
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心
考點(diǎn):平面向量的基本定理及其意義
專題:綜合題,平面向量及應(yīng)用
分析:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)題意,求出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式,即可得出點(diǎn)P的軌跡是什么.
解答: 解:根據(jù)題意,
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
),
∴2
OP
=(
OB
+
OC
)+2λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
),
∴(
OP
-
OB
)+(
OP
-
OC
)=2λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
),
BP
+
CP
=2λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)①;
以BC為x軸,過A點(diǎn)作y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)B(b,0),A(0,a),C(c,0),不放設(shè)b<c,P(x,y);如圖所示:
則由①式得:
BP
+
CP
=(x-b+x-c,y+y)=(2x-b-c,2y),
2λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)=2λ[
AB
AB
BC
×(-|
BC
|)+
AC
AC
BC
×(|
BC
|)]
=2λ[
(-b,a)
-b(c-b)
×(b-c)+
(-c,a)
-c(c-b)
×(c-b)]=2λ(0,
a
b
-
a
c
);
∴2x-b-c=0,2y=2λ(
a
b
-
a
c
);
∴x=
b+c
2
,y=λ(
a
b
-
a
c
);
∵λ是任意實(shí)數(shù),∴p為線段BC的中垂線上的點(diǎn),
∴點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的外心.
故選:A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平面向量的應(yīng)用問題,也考查了求點(diǎn)的軌跡的問題,解題時(shí)應(yīng)結(jié)合題意,畫出圖形,根據(jù)圖形進(jìn)行解答,是難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)由20個(gè)小學(xué)生、30個(gè)初中生、50個(gè)高中生組成的總體中,按分層抽樣抽取容量為n的樣本.如果在被抽取的樣本中有9名初中生,則在這次抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,已知AB=1,BC=4,∠B=60°,則△ABC的面積是( 。
A、2
3
B、
3
C、2
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

把下列在平面內(nèi)成立的直線間的關(guān)系類比地推廣到空間直線間的關(guān)系,結(jié)論還正確的是( 。
(1)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交,則比與另一條相交.
(2)如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直,則比與另一條垂直.
(3)如果兩條直線同時(shí)與第三條直線平行,則這兩條直線平行.
(4)如果兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直,則這兩條直線平行.
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將函數(shù)y=sin2x圖象向上平移一個(gè)單位長度,再向左平移
π
4
個(gè)單位長度,則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是(  )
A、y=2cos2x
B、y=2sin2x
C、y=1+sin(2x-
π
4
D、y=1+sin(2x+
π
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=
1
2
-
i
2
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(  )
A、第四象限B、第三象限
C、第二象限D、第一象限

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sin4•tan2的值( 。
A、不大于0B、大于0
C、不小于0D、小于0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球,如果從中任取兩個(gè)球,則取到兩個(gè)異色球的概率是( 。
A、
1
5
B、
3
10
C、
3
5
D、
2
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過雙曲線
x2
4
-
y2
k
=1的左焦點(diǎn),做垂直于實(shí)軸的直線,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的長為(  )
A、
k2
2
B、k2
C、
k
2
D、k

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同步練習(xí)冊答案