Question

如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度L；
（3）問(wèn)：當(dāng)θ取何值時(shí)，鋪設(shè)管道的成本最低？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1），…（2分）…（4分）
由于，，…（5分），…（6分）
（2）時(shí)，，…（8分）；…（10分）
（3）=
設(shè)sinθ+cosθ=t則…（12分）
由于，所以…（14分）在內(nèi)單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)．L的最小值米．…（15分）
答：當(dāng)時(shí)，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時(shí)管道的長(zhǎng)度為米…（16分）
分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點(diǎn)，易得，，，由污水凈化管道的長(zhǎng)度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù)．
（2）若，結(jié)合（1）中所得的函數(shù)解析式，代入易得管道的長(zhǎng)度L的值．
（3）污水凈化效果最好，即為管道的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，由（1）中所得的函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，易得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型及解三角形，根據(jù)已知條件構(gòu)造出L關(guān)于θ的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．