正三棱錐有一個半徑為R的內(nèi)切球,求所有這樣的正三棱錐中的體積最小的正三棱錐的體積.
如圖,解:設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長為a,高為h,PH^底面ABC,PH=h,內(nèi)切球球心為O,則OÎPH,連結(jié)AH并延長交BC于D,連PD,∵ H是正DABC的中心,∴ AH^BC,PD^BC,D是BC的中點,在對稱面PAD中,內(nèi)切球截面O切于AD于H,切PD于E,連DO,則OD平分ÐHDE,HO=EO=R,HD=a,設(shè)ÐADP=2a,ÐODH=ÐODE=a,在RtDOHD中,HD=OH×cota, ∴ a=2Rcota,在RtDPHD中,PH=h=HD×tan2a.∴ h=Rcota×tan2a. ∴ V=
∴ tan2a×(1-tan2a)£.∴ V³8R3.當且僅當tana=時V=8R3. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
A、12π | B、14π | C、5π | D、7π |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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