正三棱錐有一個半徑為R的內(nèi)切球，求所有這樣的正三棱錐中的體積最小的正三棱錐的體積．

答案：
解析：

如圖，解：設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h，PH^底面ABC，PH=h，內(nèi)切球球心為O，則OÎPH，連結(jié)AH并延長交BC于D，連PD，∵ H是正DABC的中心，∴ AH^BC，PD^BC，D是BC的中點，在對稱面PAD中，內(nèi)切球截面O切于AD于H，切PD于E，連DO，則OD平分ÐHDE，HO=EO=R，HD=a，設(shè)ÐADP=2a，ÐODH=ÐODE=a，在RtDOHD中，HD=OH×cota，

∴ a=2Rcota，在RtDPHD中，PH=h=HD×tan2a．∴ h=Rcota×tan2a．

    ∴ V=

   

    ∴ tan2a×(1-tan2a)£．∴ V³8R3．當且僅當tana=時V=8R3．


練習冊系列答案
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3
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9
4
15
9
4
15
．

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