Question

15．已知函數(shù)f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$，若f（x-2）＞f（3），則x的取值范圍是（-1，5）．

Answer 1

分析 對函數(shù)進(jìn)行判斷其單調(diào)性和奇偶性，即可求解f（x-2）＞f（3）x的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$，
則f（-x）=1-|-x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$=f（x），
故得f（x）是偶函數(shù)．
又∵y=-|x|是減函數(shù)，y=$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$也是減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
故f（x-2）＞f（3）等價(jià)于（x-2）²＜3²，
解得：-1＜x＜5．
∴不等式的解集為{x|-1＜x＜5}．
故答案為：（-1，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷及其運(yùn)用能力．屬于基礎(chǔ)題．