Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意n∈N^*，是否存在正實(shí)數(shù)λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
∴，解得．
∴
（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2ⁿ，即對(duì)任意n∈N^*恒成立．
設(shè)，
則，
當(dāng)n≥5時(shí)，c_n+1＜c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
當(dāng)1≤n＜5時(shí)，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．
又，
所以當(dāng)n=5時(shí)，c_n取得最大值
所以要使對(duì)任意n∈N^*恒成立，
則，
即．
分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用（1）的結(jié)論及數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．