Question

（2010•上海模擬）設(shè)向量

s

=(x+1，y)，

t

=(y，x-1)(x，y∈R)，滿足|

s

|+|

t

 |=2

2

，已知兩定點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）已知直線m：y=x+t交軌跡C于兩點(diǎn)M，N，（A，B在直線MN兩側(cè)），求四邊形MANB的面積的最大值．
（3）過原點(diǎn)O作直線l與直線x=2交于D點(diǎn)，過點(diǎn)A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點(diǎn)G，H（不妨設(shè)點(diǎn)G在直線OD上方），求證：線段OG的長為定值．

Answer 1

分析：（1）由|

s

|+|

t

|=2

2

，知

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程．
（2）點(diǎn)A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，由y=x+t得x=t-y，代入

x2

2

+y2=1可得：3y²-2ty+t²-2=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由于S=

1

2

|AB|×|y1-y2| =|y1-y2|，故只需求|y₁-y₂|的最大值
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)D（2，y₀），則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y₀）=0，直線GA：2x+y₀y-2=0，由此得G的軌跡方程是x²+y²=2，從而得到OG=

2

（定值）．

解答：（1）解：∵向量

s

=(x+1，y)，

t

=(y，x-1)(x，y∈R)，滿足|

s

|+|

t

 |=2

2

，
∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程是以（±1，0）為焦點(diǎn)，以長軸長為2

2

，短軸長為2的橢圓，
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）解：點(diǎn)A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，連接BM，BN，AM，AN
由y=x+t得x=t-y，代入

x2

2

+y2=1可得：3y²-2ty+t²-2=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴y1+y2=

2t

3

，y1y2=

t2-2

3

∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4t2 9 -4× t2-2 3

=

2

3

6-2t2

∵A，B在直線MN兩側(cè)
∴-1＜t＜1（經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，t=1，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，t=-1）
∴當(dāng)t=0時(shí)，|y₁-y₂|取得最大值

2

3

6

∵S=

1

2

|AB|×|y1-y2| =|y1-y2|
∴四邊形MANB的面積的最大值為

2

3

6

（3）證明：設(shè)動(dòng)點(diǎn)D（2，y₀），
則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y₀）=0，①
直線GA：2x+y₀y-2=0，②
由①②聯(lián)立消去y₀得G的軌跡方程是x²+y²=2，
∴OG=

2

（定值）

點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，考查圓與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．