如圖,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD為正方形,AE⊥平面CDE,二面角B-CD-E的余弦值為
4
5
,AE=3.
(Ⅰ)若F為DE的中點(diǎn),求證:BE∥平面ACF;
(Ⅱ)求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題:空間角
分析:(Ⅰ)要證BE∥平面ACF,可在平面ACF內(nèi)找到一條與BE平行的直線,在三角形BDE中,設(shè)AC,BD交點(diǎn)為O,由三角形中位線定理可得OF∥BE,則結(jié)論得到證明;
(Ⅱ)找出直線BE與平面ABCD所成角,根據(jù)已知求出正方形ABCD的邊長(zhǎng),通過(guò)求解直角三角形ABE得到直線BE與平面ABCD所成角的正弦值.
解答: 證明:(Ⅰ)連結(jié)AC,BD交于O,連OF,
∵F為DE中點(diǎn),O為BD中點(diǎn),
∴OF∥BE,OF?平面ACF,BE?平面ACF,
∴BE∥平面ACF.
(Ⅱ)解:∵AE⊥平面CDE,
∴AE⊥CD,
又AD⊥CD,
∴CD⊥面ADE,
∴CD⊥DE.
二面角B-CD-E的平面角為∠ADE,
在直角三角形AED中,
∵AE=3,cos∠ADE=
4
5

可求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5
過(guò)E作EH⊥AD于H,連結(jié)BH,
∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,
∴AE⊥CD,
∵CD⊥AD,AE∩AD=A,AD,AE?平面DAE,
∴CD⊥平面DAE,EH?平面DAE,
∴CD⊥EH,CD∩AD=D,CD,AD?平面ABCD,EH⊥平面ABCD,BH為BE在平面ABCD內(nèi)的射影,
∴∠EBH為BE與平面ABCD的所成角的平面角,
又∵CD∥AB,∴AB⊥平面DAE,
∴△ABE為直角三角形,
BE=
34
,且HE=
12
5
sin∠EBH=
6
34
85
點(diǎn)評(píng):本題考查了空間直線與平面平行的判斷,考查了直線與平面所成的角,考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件
x+y+5≥0
x-y≤0
y≤0
,則z=2x+4y+1的最小值是( 。
A、-14B、1C、-5D、-9

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x+a
x2+bx+1
,x∈[-1,1]是奇函數(shù),求a,b值,并求出f(x)的解析式.

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已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的離心率e=2,過(guò)雙曲線上一點(diǎn)M作直線MA,MB,交雙曲線于A,B兩點(diǎn),且斜率分別為k1,k2,若直線AB過(guò)原點(diǎn),則k1•k2的值為
 

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(I)若a=1,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集為R,求a的取值范圍.

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(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和公式.

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2
2x+1
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(1)用定義法證明函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù);
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log
1
2
(x2-ax+2)
(1)a=3,求函數(shù)的定義域和值域.
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