【答案】
分析:(Ⅰ)點O到直線AB的距離是定值.設(shè)A(x
1,x
2),B(x
2,y
2),當(dāng)直線AB的斜率不存在時,則由橢圓的對稱性可知,x
1=x
2,y
1=-y
2,此時點O到直線AB的距離d=|x
1|=

;當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,與橢圓C:

聯(lián)立,得:(1+4k
2)x
2+8kmx+4m
2-4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得到O到直線AB的距離d=

=

.由此能求出點O到直線AB的距離為定值

.
(Ⅱ)(法一:參數(shù)法)設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),設(shè)直線OA的斜率為k(k≠0),則OA的方程為y=kx,OB的方程為y=-

,解方程組

,得

,同理可求得

,由此能推導(dǎo)出|OA|•|OB|的最小值.
法二:(均值不等式法)由(Ⅰ)可知,O到直線AB的距離

.在Rt△OAB中,d=

,故有

=

,由此能求出|OA|•|OB|的最小值.
法三:(三角函數(shù)法)由(Ⅰ)知,在Rt△OAB中,點O到直線AB的距離|OH|=

.設(shè)∠OAH=θ,則∠BOH=θ,故|OA|=

,|OB|=

.所以,|OA|×|OB|=

=

,由此能求出|OA|•|OB|的最小值.
解答:解:(Ⅰ)點O到直線AB的距離是定值.
設(shè)A(x
1,x
2),B(x
2,y
2),
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時,則由橢圓的對稱性可知,x
1=x
2,y
1=-y
2,
∵

,即x
1x
2+y
1y
2=0,也就是

,代入橢圓方程解得:

.
此時點O到直線AB的距離d=|x
1|=

.…(2分)
②當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,
與橢圓C:

聯(lián)立,
消去y得:(1+4k
2)x
2+8kmx+4m
2-4=0,
∵

,

,…(3分)
因為OA⊥OB,所以x
1x
2+y
1y
2=0,
所以(1+k
2)

,…(4分)
代入得:

,
整理得5m
2=4(k
2+1),…(5分)
O到直線AB的距離d=

=

.
綜上所述,點O到直線AB的距離為定值

.…(6分)
(Ⅱ)(法一:參數(shù)法)設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),設(shè)直線OA的斜率為k(k≠0),則OA的方程為y=kx,OB的方程為y=-

,
解方程組

,得

,
同理可求得

,
故

=

.…(9分)
令1+k
2=t(t>1),則|OA|•|OB|=4

=4

,
令

=-9

(t>1),所以4<g(t)≤

,即

.…(11分)
當(dāng)k=0時,可求得|OA|•|OB|=2,故

,故|OA|•|OB|的最小值為

,最大值為2.…(13分)
法二:(均值不等式法)由(Ⅰ)可知,O到直線AB的距離

.
在Rt△OAB中,d=

,故有

=

,
即

,…(9分)
而|OA|
2+|OB|
2≥2|OA|×|OB,(當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時取等號)

代入上式可得:


,
即

,(當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時取等號).…(11分)
故|OA|•|OB|的最小值為

.…(13分)
法三:(三角函數(shù)法)由(Ⅰ)可知,如圖,在Rt△OAB中,點O到直線AB的距離|OH|=

.
設(shè)∠OAH=θ,則∠BOH=θ,故|OA|=

,|OB|=

.…(9分)
所以,|OA|×|OB|=

=

,…(11分)
顯然,當(dāng)2θ=

,即

時,|OA|•|OB|取得最小值,最小值為

.…(13分)
點評:本題探究點到直線的距離是否為定值,求線段乘積的最小值.考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.