Question

（2012•上海）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B（

1

2

，5）、C（1，0），函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為

5

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意求得f（x）=

10x，(0≤x≤ 1 2 ) 10-10x，( 1 2 ≤x≤1)

，從而y=xf（x）=

10x2，(0≤x≤ 1 2 ) -10x2+10x，( 1 2 ≤x≤1)

，利用定積分可求得函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積．

解答：解：由題意可得，f（x）=

10x，(0≤x≤ 1 2 ) 10-10x，( 1 2 ≤x≤1)

，
∴y=xf（x）=

10x2，(0≤x≤ 1 2 ) -10x2+10x，( 1 2 ≤x≤1)

，
設(shè)函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S，
則S=

∫

1 2 0

10x²dx+

∫

1 1 2

（-10x²+10x）dx
=10×

x3

3

|

1 2 0

+（-10）×

x3

3

|

1 1 2

+10×

x2

2

|

1 1 2

=

5

12

-

35

12

+5-

5

4

=

15

12

=

5

4

．
故答案為：

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象，著重考查分段函數(shù)的解析式的求法與定積分的應(yīng)用，考查分析運(yùn)算能力，屬于難題．