若方程(1+a)x2-3ax+4a=0的所有根均小于1,求實數(shù)a的范圍.
【答案】
分析:方程(1+a)x
2-3ax+4a=0是一個類二次方程,我們要首先分1+a=0和1+a≠0兩種情況進行分類討論,當方程為二次方程時所有根均小于1,情況比較復(fù)雜,故我們可以先討論方程的兩根均不小于1的情況,再利用補集思想求出滿足條件的實數(shù)a的范圍.
解答:解:若1+a=0,即a=-1
則原方程可化為:3x-4=0,解得x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768435524/SYS201310232144507684355017_DA/0.png)
,不滿足要求
若1+a≠0,即a≠-1時,
若方程(1+a)x
2-3ax+4a=0有根,則△=9a
2-16a
2-16a≥0
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768435524/SYS201310232144507684355017_DA/1.png)
若方程(1+a)x
2-3ax+4a=0的所有根均不小于1
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768435524/SYS201310232144507684355017_DA/2.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768435524/SYS201310232144507684355017_DA/3.png)
故方程(1+a)x
2-3ax+4a=0的所有根均小于1時,-1<a≤0
即實數(shù)a的范圍為,-1<a≤0
點評:本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,利用“正難則反”的思想,先求方程(1+a)x
2-3ax+4a=0的所有根均不小于1時,實數(shù)a的范圍,再利用補集思想進行解答是本題的關(guān)鍵.