Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-2，4]．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)在[-2，4]上的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-2，4]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

解：∵f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²；
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=（x-1）²+1；
所以函數(shù)在x=1時(shí)，有最小值1；在x=4時(shí)，有最大值f（4）=（4-1）²+1=10．
（2）；∵f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²；
對(duì)稱(chēng)軸x=-a，
函數(shù)f（x）在（-∞，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．
要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，4]上是單調(diào)函數(shù)；
須有-a≥4或-a≤-2，
即a≤-4或a≥2．
分析：（1）先求出其對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可得到結(jié)論；
（2）：直接根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分解點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)軸方程即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目．