Question

已知函數f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）在點P（0，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）為R上的單調遞增函數，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，根據導數的幾何意義即可求函數f（x）在點P（0，1）處的切線方程；
（Ⅱ）根據函數單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
∴f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（0）=1，
即f（x）在點P（0，1）處的切線方程為y-1=x，即y=x+1．
（Ⅱ）要使函數f（x）為R上的單調遞增函數，
則f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
①當x＞0時，2a≤

ex

x

成立，
設g（x）=

ex

x

，則g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
由g′（x）=0得x=1，
當x＞1時，g′（x）＞0，此時函數單調遞增，
當x＜1時，g′（x）＜0，此時函數單調遞減．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤

e

2

．
②x＜0時，2a≥

ex

x

成立，
∵

ex

x

＜0，∴2a≥0，則a≥0；
又a=0，f′（x）=e^x≥0恒成立；
綜上，若函數f（x）為R上的單調遞增函數，則0≤a≤

e

2

．

點評：本題主要考查導數的幾何意義以及函數的單調性和導數之間的應用，求出函數的導數是解決本題的關鍵．