Question

20、已知函數(shù)f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-λf（x），試問，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得G（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，并且在（-1，0）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：由f（x）求g（x），再求G（x）解析式，求G（x₁）-G（x₂）的表達(dá)式，最后要變形為因式相乘的形式；根據(jù)單調(diào)性得出這個(gè)式子的正負(fù)，從而得出λ的范圍，由兩個(gè)范圍取交集可得λ的值．

解答：解：g（x）=f[f（x）]=f（x²+1）=（x²+1）²+1=x⁴+2x²+2．
G（x）=g（x）-λf（x）=x⁴+2x²+2-λx²-λ=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ），G（x₁）-G（x₂）=[x₁⁴+（2-λ）x₁²+（2-λ）]-[x₂⁴+（2-λ）x₂²+（2-λ）]=（x₁+x₂）（x₁-x₂）[x₁²+x₂²+（2-λ）]
由題設(shè)當(dāng)x₁＜x₂＜-1時(shí)，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞1+1+2-λ=4-λ，
則4-λ≥0，λ≤4當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜0時(shí)，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＜1+1+2-λ=4-λ，
則4-λ≥0，λ≥4故λ=4．

點(diǎn)評：本題求參數(shù)的值，用函數(shù)的單調(diào)性定義求解，屬于定義的逆用，知單調(diào)性來判斷差的正負(fù)．