平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且無任何三個圓相交于一點,求證:這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分.

分析:問題的難點是在假設(shè)n=k時,k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分,那么當n=k+1時,平面增加幾部分.此時第k+1個圓與前面k個圓有2k個交點,這2k個交點將第k+1個圓分成2k段,每段將各自所在的區(qū)域一分為二,因此增加了2k個部分.

證明:(1)當n=1時,一個圓將平面分成二部分,且f(1)=12-1+2=2,因此,n=1時命題成立.

    (2)假設(shè)n=k時,命題成立,即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2部分,如果增加一個滿足條件的任一個圓,則這個圓必與前k個圓交于2k個點,這2k個點把這個圓分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分,因此,這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k個部分,即

f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k

=(k+1)2-(k+1)+2,

即當n=k+1時,命題亦成立.

根據(jù)(1)(2)可知,n個圓將平面分成了f(n)=n2-n+2部分.

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