Question

設和是函數(shù)的兩個極值點，其中，．
（1）求的取值范圍；
（2）若，求的最大值．注：e是自然對數(shù)的底．

Answer 1

（1） ；2）．

試題分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)極值點為導數(shù)為0時的根，找出函數(shù)中所含未知數(shù)的范圍和兩個極值點與的關系，再求的取值范圍；（2）先設，再化簡已知不等式，用表示出來，然后就計算得出關于的表達式，再構造新函數(shù)，利用導數(shù)求新函數(shù)的單調性，可知新函數(shù)的最值，即為所求．
試題解析：(1)解：函數(shù)的定義域為，．
依題意，方程有兩個不等的正根，（其中）．故
，
并且                    ．
所以，

故的取值范圍是．                              7分
(2)解當時，．若設，則
．
于是有  


構造函數(shù)（其中），則．
所以在上單調遞減，．
故的最大值是．                         15分