Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和{S_n}，滿足S_n+1=ks_n+2，又a₁=2，a₂=1
（1）求k的值；  
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（3）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1結(jié)合已知求得k=

1

2

；
（2）由Sn+1=

1

2

Sn+2可得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=

1

2

Sn-1+2，兩式相減即可得到數(shù)列{a_n}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（3）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n代入na_n，然后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵S₂=kS₁+2，
∴a₁+a₂=ka₁+2，
∵a₁=2，a₂=1，∴3=2k+2，即k=

1

2

；
（2）由（1）得Sn+1=

1

2

Sn+2，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=

1

2

Sn-1+2，
兩式相減可得，an+1=

1

2

an．
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

；
（3）na_n=

n

2n-2

，
則Tn=

1

2-1

+

2

20

+

3

21

+…+

n

2n-2

．

1

2

Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

．
兩式作差得：

1

2

Tn=2+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

．
∴Tn=8-

4n+8

2n

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系得確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．