考點:橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:由已知條件可得,sinα,cos(α+β),sinβ,在△PF1F2中由正弦定理可得出|PF1|,|PF2|的關(guān)系,若設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則可得到m,n的關(guān)系,根據(jù)橢圓的定義m+n=2a,所以可用a表示m,n.而根據(jù)余弦定理即可得到a,c的關(guān)系,這樣既可得到關(guān)于離心率e的方程,解方程即得離心率的值.
解答:
解:∵cosα=
,sin(α+β)=
;
∴sinα=
,cos(α+β)=
±;
∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=
•+•=
,或
•-•<0(舍去);
設(shè)|PF
1|=m,|PF
2|=n,則由正弦定理得:
=;
∴
m=•n=•n=;
∵m+n=2a;
∴
m=,n=;
∴由余弦定理得:
()2=()2+4c2-•;
整理得:
21e2-e+1=0;
解得e=
,或.
故選D.
點評:考查兩角差的正弦公式,以及正弦定理,余弦定理,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的定義,橢圓離心率的概念.