Question

設函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若關于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關鍵，利用導數(shù)作為工具，求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即為的的取值區(qū)間；（2）方法一：利用函數(shù)思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數(shù)的取值范圍．方法二：先分離變量再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)為工具研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意列出關于實數(shù)的不等式組進行求解．本題將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點問題，是解決問題的關鍵．

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， 1分

∵， 2分

∵，則使的的取值范圍為，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 4分

（2）方法1：∵，

∴． 6分

令，

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 9分

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根 12分

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是． 14分

方法2：∵，

∴． 6分

即，

令，

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 9分

∵，，，

又，

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根． 12分

即．

綜上所述，的取值范圍是． 14分

考點：函數(shù)與方程的綜合運用；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．