Question

已知數(shù)列a_n和b_n滿足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）試判斷數(shù)列a_n是否可能為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（2）求數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)a＞0，S_n為數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和，如果對(duì)于任意正整數(shù)n，總存在實(shí)數(shù)λ，使得不等式a＜S_n＜a+1成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）題目要求試判斷數(shù)列a_n是否可能為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論，故本題要先做出判斷，然后再證明，證明方法是先假設(shè)其成立，引入?yún)��?shù)，由等比的性質(zhì)建立方程，看參數(shù)能不能求出，若能求出，則說(shuō)明是，否則說(shuō)明不是．
（2）研究數(shù)列相鄰兩項(xiàng)，看相鄰項(xiàng)的關(guān)系，以確定數(shù)列b_n的性質(zhì)，然后求出其通項(xiàng)公式；
（3）求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后根據(jù)形式求出其最值，則參數(shù)的范圍易知．

解答：解：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，數(shù)列a_n不可能為等比數(shù)列．
證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使{a_n}是等比數(shù)列，則有a²₂=a₁a₃，，即(

2

3

λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（2）因?yàn)閎_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）=-

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n
又b₁=-（λ+18），所以，當(dāng)λ=-18，b_n=0（n∈N⁺）；
當(dāng)λ≠-18時(shí)，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴

ba+1

bn

=-

2

3

（n∈N⁺）．
∴數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項(xiàng)，-

2

3

為公比的等比數(shù)列．b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1．
（3）由（2）知，當(dāng)λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1，
于是可得S_n=-

n

i=1

i4=

1

5

n4+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，
要使a＜S_n＜a+1對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a＜-

3

5

（λ+18）•[1-（-

2

3

）ⁿ]＜a+1（n∈N⁺）得

a

1-(- 2 3 )n

＜-

3

5

(λ+18)＜

a+1

1-(- 2 3 )n

①
令f(n)=1-(-

2

3

)n，則
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1＜f（n）≤

5

3

；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，

5

9

≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值為f（1）=

5

3

，f（n）的最小值為f（2）=

5

9

，
于是，由①式得

9

5

a＜-

3

5

（λ+18）＜

3

5

(a+1)，即得-（a+1）-18＜λ＜-3a-18．
∴-（a+1）-18＜-3a-18，
∴0＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于數(shù)列綜合運(yùn)用題，考查了由所給的遞推關(guān)系證明數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)所給的遞推關(guān)系進(jìn)行研究求數(shù)列的遞推公式以及利用數(shù)列的求和公式求其和，再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數(shù)的取值范圍，難度較大，綜合性很強(qiáng)，對(duì)答題者探究的意識(shí)與探究規(guī)律的能力要求較高，是一道能力型題．