Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

2m-x

2+x

（a＞0，且a≠1）為奇函數(shù)，且f（1）=-1．
（1）求實數(shù)a與m的值；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）解不等式f（

1

2x

）+1＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)可得f（0）=0，可得m值，再由f（1）=-1可得a值；
（2）任取x₁，x₂∈（-2，2），且x₁＜x₂，由對數(shù)的運算和不等式的放縮法可得作差f（x₁）-f（x₂）＞0，可得結(jié)論；
（3）不等式可化為f（

1

2x

）＜f（1），由單調(diào)性可得1＜

1

2x

＜2，易解得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=log_am=0，
解得m=1，∴f（x）=log_a

2-x

2+x

，
又f（1）=-1，∴l(xiāng)og_a

1

3

=-1，解得a=3；
（2）易得函數(shù)f（x）=log₃

2-x

2+x

的定義域為（-2，2），
任取x₁，x₂∈（-2，2），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=log₃

2-x1

2+x1

-log₃

2-x2

2+x2

=log₃

(2-x1)(2+x2)

(2+x1)(2-x2)

＞log₃

(2-x1)(2+x1)

(2+x1)(2-x1)

=log₃1=0，
∴函數(shù)f（x）在（-2，2）單調(diào)遞減；
（3）不等式f（

1

2x

）+1＜0可化為f（

1

2x

）＜-1，
可化為f（

1

2x

）＜f（1），
由（2）知函數(shù)f（x）在（-2，2）單調(diào)遞減，
∴1＜

1

2x

＜2，解得-1＜x＜0，
∴不等式f（

1

2x

）+1＜0的解集為{x|-1＜x＜0}．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，涉及定義法判函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬中檔題．