Question

函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，當a≥

1

2

時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先求出函數(shù)的導數(shù)，分別討論①當a=

1

2

②當

1

2

＜a＜1時，③當a≥1時的情況，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①當a=

1

2

時，x₁=x₂，f′（x）=-

1 2 (x-1)2

x2

＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞減；
②當

1

2

＜a＜1時，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x+a-1＞0，解得：

1

a

-1＜x＜1，
此時f（x）在（

1

a

-1，1）遞增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）遞減；
③當a≥1時，由于

1

a

-1≤0，令f′（x）＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得：0＜x＜1，
此時函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
綜上：①當a=

1

2

時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞減；
②當

1

2

＜a＜1時，f（x）在（

1

a

-1，1）遞增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）遞減；
③當a≥1時，函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．