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16.如圖①,在邊長為2的正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),現(xiàn)在沿DE,DF及EF把△ADE,△CDF和△BEF折起,使A,B,C三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記作P,如圖②所示.
(1)求證:PD⊥EF;
(2)求二面角D-EF-P的平面角的正切值.
(3)求點(diǎn)P到平面DEF的距離

分析 (1)推導(dǎo)出DM⊥EF,PM⊥EF,從而EF⊥平面PDM,由此能證明EF⊥PD.
(2)由DM⊥EF,PM⊥EF,知∠PMD是二面角D-EF-P的平面角,由此能求出二面角D-EF-P的平面角的正切值
(3)由VP-DEF=VD-PEF,能求出點(diǎn)P到平面DEF的距離.

解答 證明:(1)∵DE=DF=22+12=5,EF∥AC,
∴BD⊥EF,M是EF的中點(diǎn),∴DM⊥EF,
∵折疊前AE=CF,∴折疊后PE=PF,
∴PM⊥EF,
∵DM∩PM=M,∴EF⊥平面PDM,
∵PD?平面PDM,∴EF⊥PD.
解:(2)∵DM⊥EF,PM⊥EF,∴∠PMD是二面角D-EF-P的平面角,
∵PD=AD=2,PM=BM=14BD=144+4=22,DM=34BD=322,
∴cos∠PMD=DM2+PM2PD22DMPM=184+2442×322×22=13,
∴tanPMD=22
∴二面角D-EF-P的平面角的正切值為22
(3)∵PD⊥PE,PD⊥PF,PE∩PF=P,
∴PD⊥平面PEF,∴P到平面PEF的距離PD=2,
∵PE=PF=1,EF=2,∴PE2+PF2=EF2,∴PE⊥PF,
∴S△PEF=12×1×1=12,
SDEF=12×EF×DM=12×2×322=32,
VP-DEF=VD-PEF,
設(shè)點(diǎn)P到平面DEF的距離,
12×d×SDEF=12×PD×SPEF,即12×d×32=12×2×12,
解得d=23
∴點(diǎn)P到平面DEF的距離d=23

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的正切值的求法,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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