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（本小題滿分13分）已知數列.如果數列滿足，，其中，則稱為的“衍生數列”.

（Ⅰ）寫出數列的“衍生數列”；

（Ⅱ）若為偶數，且的“衍生數列”是，證明：；

（Ⅲ）若為奇數，且的“衍生數列”是，的“衍生數列”是，….依次將數

列，，，…的首項取出，構成數列.證明：是等差數列.

 

【答案】

（Ⅰ）解：.                      ………………3分

（Ⅱ）證明： 因為 ，

，

，

……

，

由于為偶數，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得

      即，.                                     ………………8分

（Ⅲ）證明：對于數列及其“衍生數列”，

因為 ，

，

，

……

，

由于為奇數，將上述個等式中的第這個式子都乘以，

相加得

      即.

設數列的“衍生數列”為，

因為 ，，

所以 ，   即成等差數列.       ………………12分

同理可證，也成等差數列.

從而是等差數列.             ………………13分

【解析】略

 

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