Question

若實數a，b，c滿足2a+b=4，且ab+c=5，則abc的最大值是

 

．（代入換元）

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：實數a，b，c滿足2a+b=4，只考慮為正數的情況，利用基本不等式可得4≥2

2ab

，即ab≤2．由于5=c+ab，可得c=5-ab，abc=（5-ab）ab=-(ab-

5

2

)2+

25

4

，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：∵實數a，b，c滿足2a+b=4，
只考慮為正數的情況，
∴4≥2

2ab

，可得ab≤2，當且僅當2a=b=2時取等號．
∵5=c+ab，∴c=5-ab，
∴abc=（5-ab）ab=-（ab）²+5ab=-(ab-

5

2

)2+

25

4

≤-(2-

5

2

)2+

25

4

=6，當且僅當ab=2（a=1，b=2）時取等號．
∴abc的最大值是6．
故答案為：6．

點評：本題考查了基本不等式的性質、二次函數的單調性，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．