Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn).

（Ⅰ）求證：當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面；

（Ⅱ）設(shè)，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（2）或

【解析】試題分析：

（Ⅰ）連、，由題意可證得．又在平面，從而可得平面．（Ⅱ）由題意可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件可得，從而可得平面的法向量，同理可得平面的法向量，根據(jù)解得或，故存在實(shí)數(shù)滿足條件．

試題解析：

（Ⅰ）證明：連、，

∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

∴、、三點(diǎn)共線.

∵點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，

∴．

在直三棱柱中，，

∴平面，

∴，

又，

∴四邊形為正方形，

∴，

∵、平面，

∴平面，

而，

∴平面.

（Ⅱ）解：以為原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

連接、，設(shè)，

∵，

∴，

∴，∴.

∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，

∴平面的法向量即為平面的法向量，

設(shè)平面的法向量為，

由得，令得，

設(shè)平面的法向量為，

由得，

令得，取，

由題意得| ，

∴，

解得或.

∴當(dāng)或時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．