Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為，側(cè)棱長為4．E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EF∩BD=G．
（Ⅰ）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d；
（Ⅲ）求三棱錐B₁-EFD₁的體積V．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法一：欲證明平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，先證直線與平面垂直，觀察平面BDD₁B₁為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角面，所以AC⊥平面BDD₁B₁，故連接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD₁B₁
方法二：欲證明平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，先證直線與平面垂直，由題意易得EF⊥BD，又EF⊥D₁D，所以EF⊥平面BDD₁B₁

（2）本題的設(shè)問是遞進(jìn)式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的．由第（1）問可知，點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d即為點(diǎn)D₁到平面B₁EF與平面BDD₁B₁的交線B₁G的距離，故作D₁H⊥B₁G，垂足為H，所以點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d=D₁H．下面求D₁H的長度．
解法一：在矩形BDD₁B₁及Rt△D₁HB₁中，利用三角函數(shù)可解．
解法二：在矩形BDD₁B₁及Rt△D₁HB₁中，利用三角形相似可解．
解法三：在矩形BDD₁B₁及△D₁GB₁中，觀察面積大小關(guān)系可解．

（3）本題的設(shè)問是遞進(jìn)式的，第（2）問是為第（3）問作鋪墊的．解決三棱錐求體積的問題，關(guān)鍵在于找到合適的高與對(duì)應(yīng)的底面，由第（2）問可知，D₁H即為三棱錐B₁-EFD₁的高，所以B₁EF為對(duì)應(yīng)的底面．
解答：解：（Ⅰ）證法一：
連接AC．
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，
∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁．
∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

證法二：
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，
∴EF⊥BD．又EF⊥D₁D
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

（Ⅱ）在對(duì)角面BDD₁B₁中，
作D₁H⊥B₁G，垂足為H．
∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，
且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，
∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足為H，
∴點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d=D₁H．
解法一：
在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁•sin∠D₁B₁H．
∵，
，
∴

解法二：
∵△D₁HB₁～△B₁BG，
∴，
∴

解法三：
連接D₁G，則三角形D₁GB₁的面積等于正方形DBB₁D₁面積的一半，
即，
∴
（Ⅲ）
=
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正四棱柱的基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．