(02年北京卷理)(13分)

已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意的a,b∈R都滿足:

.

   (Ⅰ)求f(0),f(1)的值;

   (Ⅱ)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;

   (Ⅲ)若,求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)的和Sn.

解析:(Ⅰ)解:.

因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090415/20090415172346002.gif' width=199>,

        所以

   (Ⅱ)是奇函數(shù).  證明:因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090415/20090415172346005.gif' width=303>,

         因此,為奇函數(shù).

   (Ⅲ)解法一:由,

         猜測(cè). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

         1° 當(dāng)n=1時(shí),,公式成立;

 2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí),

 ,公式仍成立.

         由上兩步可知,對(duì)任意成立.所以.

         因?yàn)?IMG height=38 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090415/20090415172347014.gif' width=280>所以,

         .

        解法二:當(dāng),

          故

          所以 (以下同解法一)

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