Question

（02年北京卷理）（13分）

已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足：

.

   （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

   （Ⅱ）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

   （Ⅲ）若，求數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)的和S_n.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：.

因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090415/20090415172346002.gif' width=199>，

        所以

   （Ⅱ）是奇函數(shù).  證明：因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090415/20090415172346005.gif' width=303>，

         因此，為奇函數(shù).

   （Ⅲ）解法一：由，

         猜測(cè). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

         1° 當(dāng)n=1時(shí)，，公式成立；

 2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

 ，公式仍成立.

         由上兩步可知，對(duì)任意成立.所以.

         因?yàn)?IMG height=38 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090415/20090415172347014.gif' width=280>所以，

         .

        解法二：當(dāng)，

          故

          所以 （以下同解法一）