Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M為PC的中點．

（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；
（2）點N在線段AD上，且AN=λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又因為∠BAD=90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．

分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），

P（0，0，4），

又因為M為PC的中點，所以M（1，1，2）．

所以 ， ，

所以 = ，

所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為

（2）解：因為AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），則 ， ， ，

設(shè)平面PBC的法向量為 =（x，y，z），

則 令x=2，解得y=0，z=1，

所以 =（2，0，1）是平面PBC的一個法向量．

因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為 ，

所以 ，

解得λ=1∈[0，4]，

所以λ的值為1．

【解析】（1）分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出 ， ，利用向量的夾角公式，即可求異面直線AP，BM所成角的余弦值；（2）求出平面PBC的一個法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為 ，求λ的值．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．