Question

已知函數(shù)，常數(shù)m≥1
（1）求函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間；
（2）當m=2時，設函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x）+3的定義域為D，?x₁，x₂∈D，且x₁+x₂=1，求證：g（x₁）+g（x₂），g（x₁）-g（x₂），g（2x₁）+g（2x₂），g（2x₁）-g（2x₂）中必有一個是常數(shù)（不含x₁，x₂）；
（3）若曲線C：y=f（x）在點P（1，1）處的切線l與曲線C有且只有一個公共點，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用導數(shù)四則運算計算函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＜0，即可得函數(shù)的單調減區(qū)間
（2）先證明函數(shù)g（x）關于（1，3）中心對稱，再結合x₁+x₂=1，即可證明g（2x₁）+g（2x₂）=6為常數(shù)，也可代入函數(shù)解析式直接證明結論
（3）先利用導數(shù)的幾何意義，求切線l的方程，再與曲線聯(lián)立，得關于x的方程，再將方程有且只有一解轉化為函數(shù)有且只有一個零點問題，利用導數(shù)，通過討論所研究函數(shù)的單調性和極值，可得m的值
解答：解：（1）
對于y=mx²-（m+2）x+1而言，
∵m≥1，∴△=（m+2）²-4m=m²+4＞0
且它的兩個零點

故當x₁＜x＜x₂時f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為
（2）法一：g（x）=4-4x+lnx-ln（2-x）+3關于點A（1，3）對稱，證明如下：
設P（x，y）為y=g（x）圖象上任意一點，P關于點A（1，3）的對稱點為P′（2-x，6-y）．
∵y=4-4x+lnx-ln（2-x）+3，∴6-y=4-4（2-x）+ln（2-x）-ln（2-（2-x））+3
∴P′也在函數(shù)y=g（x）圖象上，故y=g（x）圖象關于點A（1，3）對稱
∵2x₁+2x₂=2，∴g（2x₁）+g（2x₂）=6為常數(shù)
法二：為常數(shù)
（3）∵f′（1）=-1，∴直線l：y-1=-（x-1），即y=2-x
代入
得m（x-1）²-2x+2lnx+2=0
令F（x）=m（x-1）²-2x+2lnx+2，則F（1）=0，∴F（x）=0有一個解x=1
又∵
①當m=1時，，∴F（x）在（0，+∞）上遞增，∴F（x）=0恰有一個解符合條件；
②當m＞1時，當或x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，當時F′（x）＜0，
故F（x）極大值=，極小值F（1）=0．
且當x→0時F（x）→-∞；當x→+∞時，F(xiàn)（x）→+∞
∴F（x）在上各有一個實根，不符合條件，舍去
綜上m=1
點評：本題綜合考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，進而解決零點分布問題．