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已知函數f(x)=arcsin(x-x2);
(1)求f(x)的定義域;
(2)寫出函數f(x)的值域;
(3)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間.
分析:(1)設t=x-x2,根據反正弦函數的定義域解關于x的不等式-1≤x-x2≤1,即可得出f(x)的定義域;
(2)根據二次函數的圖象與性質,得t=x-x2在x∈[
1-
5
2
1+
5
2
]時有最大值
1
4
、最小值-1.由此利用反正弦函數的單調性,可得f(x)的最大值和最小值,從而得出函數f(x)的值域;
(3)根據二次函數t=x-x2在x∈[
1-
5
2
,
1+
5
2
]上的單調性和反正弦函數y=arcsint的單調性,利用復合函數單調性的法則,可得函數f(x)的單調遞減區(qū)間.
解答:解:設t=x-x2,
(1)∵反正弦函數y=arcsint的定義域為[-1,1],
∴解不等式-1≤x-x2≤1,得
1-
5
2
≤x≤
1+
5
2

因此,f(x)的定義域為[
1-
5
2
1+
5
2
].
(2)∵t=x-x2,x∈[
1-
5
2
,
1+
5
2
].
∴配方得t=-(x-
1
2
2+
1
4

可得當x=
1
2
時,t有最大值
1
4
;當x=
1-
5
2
1+
5
2
時,t有最小值-1.
∵反正弦函數y=arcsint,在t∈[-1,
1
4
]時為增函數
∴f(x)=arcsin(x-x2)的最小值為arcsin-1=-
π
2
,最大值為arcsin
1
4

因此,函數f(x)的值域為[-
π
2
,arcsin
1
4
].
(3)由(2)的結論,得t=x-x2=-(x-
1
2
2+
1
4
,在x∈[
1-
5
2
,
1
2
]時為增函數
又∵反正弦函數y=arcsint在其定義域上為增函數,
∴由復合函數單調性法則,可得f(x)=arcsin(x-x2)的增區(qū)間為[
1-
5
2
,
1
2
].
點評:本題著重考查了二次函數的圖象與性質、反三角函數的定義域與值域、復合函數的單調性判斷和不等式的解法等知識,屬于中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
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1
4
)
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34
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