Question

數(shù)列{a_n}中，，試證：．

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)知a_n＞0，當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，．假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時，，那么當(dāng)n=k+1時，，．再用作商法比較和的大小．從而證明出，．
解答：證明：∵a₁=2，，∴a_n＞0，
∵0.5a_n²-a_n+1a_n+1=0，由△=a_n+1²-2≥0，得（舍去）或．
當(dāng)n=1時，；
當(dāng)n=2時，．
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時，，
那么當(dāng)n=k+1時，，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，
∴．
面用作商法比較和的大�。�
∵=，
∴，
∴，
即當(dāng)n=k+1時，成立．
∴對于任意n∈N，均成立．
點評：本題考查數(shù)列的極限及其應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．