Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：

（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）線面平行的判定關(guān)鍵在證相應(yīng)線線平行，線線平行的證明或?qū)で笮枰�結(jié)合平面幾何的知識(shí)，如中位線平行于底面，因?yàn)楸绢}中M為PC中點(diǎn)，所以應(yīng)取BD的中點(diǎn)作為解題突破口；（2）線線垂直的證明一般需要經(jīng)過多次線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，而對(duì)于面面垂直，基本是單向轉(zhuǎn)化，即作為條件，就將其轉(zhuǎn)化為線面垂直；作為結(jié)論，只需尋求線面垂直. 如本題中面PCD與面ABCD垂直，就轉(zhuǎn)化為BC平面PCD，到此所求問題轉(zhuǎn)化為:已知線面垂直，要求證線線垂直.在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化過程中，要注意充分應(yīng)用平面幾何中的垂直條件,如矩形鄰邊相互垂直.
試題解析：證明：（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OM.    2分
因?yàn)镸為PC中點(diǎn),O為AC中點(diǎn)，
所以MO//PA.                                      4分
因?yàn)镸O平面MDB，PA平面MDB,
所以PA//平面MDB.                                 7分
（2）因?yàn)槠矫鍼CD平面ABCD,
平面PCD平面ABCD=CD,
BC平面ABCD,BCCD,
所以BC平面PCD.            12分
因?yàn)镻D平面PCD,
所以BCPD                  14分