Question

已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是兩腰AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（1）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值．
（2）當f（x）取得最大值時，求BD與平面BCFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先表示出三棱錐的體積記為f（x），利用基本不等式求出f（x）的最大值．
（2）先表示出BD與平面BCFE所成角，然后解直角三角形的邊長，求出BD與平面BCFE所成角的正弦值．

解答：解：（1）因為ABCD為直角梯形，沿EF將梯形ABCD翻折后，平面AEFD⊥平面EBCF；所以三棱錐D-BCF的高為AE所以三棱錐D-BCF的體積為：f(x)=

1

3

×

1

2

×4×(4-x)×x（4分）
所以f(x)=

2

3

(4-x)x≤

2

3

(

4-x+x

2

)2=

8

3

所以當x=2時，f（x）取最大值為

8

3

（7分）
（2）作DH⊥EF于H，連接HB，
因為平面AEFD⊥平面EBCF；
所以DH⊥面BCFE，所以∠DBH就是所求的BD與平面BCFE所成角（10分）
容易計算得，DH=2，BH=

BE2+EH2

=2

2

，R所以BD=

DH2+BH2

=2

3

所以sin∠DBH=

DH

BD

=

3

3

（13分）
所以，BD與平面BCFE所成角的正弦值為

3

3

（14分）

點評：本題考查棱錐的體積，函數(shù)的最值，直線與平面所成的角，考查空間想象能力，是中檔題．