Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．點M是棱PC的中點
（1）記平面ADM與平面PBC的交線是l，試判斷直線l與BC的位置關(guān)系，并加以證明．
（2）若 ，求證PB⊥平面ADM，并求直線PC與平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

又AD平面PBC，BC平面PBC，

∴AD∥平面PBC，

又AD平面ADM，平面ADM∩平面PBC=l，

∴AD∥l，

又AD∥BC，

∴l(xiāng)∥BC．

（2）解：證明：以A為原點建立空間直角坐標系，

則P（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），C（1，1，0），M（ ， ， ），

∴ =（0，1，﹣1）， =（1，0，0）， =（ ， ， ），

∴ =0， =0，

∴PB⊥AD，PB⊥AM，

又AD平面ADM，AM平面ADM，AD∩AM=A，

∴PB⊥平面ADM．

∴ =（0，1，﹣1）是平面ADM的一個法向量，

又 =（1，1，﹣1），

∴cos＜ ＞= = = ．

∴直線PC與平面ADM所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）證明AD∥平面PBC，利用線面平行的性質(zhì)可得AD∥l，由平行公理即可得出l∥BC；（2）建立空間坐標系，利用向量法證明PB⊥AD，PB⊥AM，故而PB⊥平面ADM，計算 ， 的夾角即可得出直線PC與平面ADM所成角的正弦值．
【考點精析】通過靈活運用空間角的異面直線所成的角，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．