Question

【題目】設函數f（x）= sinxcsox+cos2x+m
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[﹣ ， ]時，函數f（x）的最小值為2，求函數f（x）的最大值及對應的x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函數f（x）= sinxcsox+cos2x+m= sin2x+ +m

=sin（2x+ ）+m+ ，

∴最小正周期為 =π．

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

故函數f（x）的單調增區(qū)間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）解：當x∈[﹣ ， ]時，﹣ ≤2x+ ≤ ，函數f（x）的最小值為2，求函數f（x）的最大值及對應的x的值，

∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1，

故當sin（2x+ ）=﹣ 時，原函數取最小值2，即﹣ +m+ =2，∴m=2，

故f（x）=sin（2x+ ）+ ，

故當sin（2x+ ）=1時，f（x）取得最大值為 ，此時，2x+ = ，x=

【解析】（1）由條件利用三角恒等變換，正弦函數的周期性、單調性求得函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．（2）當x∈[﹣ ， ]時，利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）的最大值及對應的x的值．
【考點精析】通過靈活運用兩角和與差的正弦公式和三角函數的最值，掌握兩角和與差的正弦公式：；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，即可以解答此題．