已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=
9-x2
,求z=2x+y的取值范圍為
[-6,3
5
]
[-6,3
5
]
分析:三角換元:x=3cosα,則y=
9-x2
=3sinα,α∈[0,π].利用輔助角公式算出z=2x+y=3
5
sin(α+θ),結(jié)合α+θ的范圍利用三角函數(shù)的圖象,即可算出z=2x+y的取值范圍.
解答:解:設(shè)x=3cosα,則y=
9-x2
=3sinα,α∈[0,π]
可得z=2x+y=6cosα+3sinα=3
5
sin(α+θ),
其中θ=arctan2,
∵α∈[0,π],得α+θ∈[arctan2,π+arctan2]
∴當(dāng)α+θ=
π
2
時,z有最大值3
5
;當(dāng)α=π時,z有最小值-6
由此可得z=2x+y的取值范圍為[-6,3
5
]

故答案為:[-6,3
5
]
點(diǎn)評:本題給出曲線方程y=f(x),求z=2x+y的取值范圍.著重考查了三角換元法求函數(shù)的值域的知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實(shí)數(shù)x,y滿足
y≥1
y≤2x-1
x+y≤8
,則目標(biāo)函數(shù)z=x2+(y-3)2的最小值為
16
5
16
5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實(shí)數(shù)x,y滿足
y≥1
y≤2x-1
x+y≤m
,若目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值的取值范圍是[-3,-2],則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足
y-x≥1
x+y≤1
-2x+y≤2
,則當(dāng)z=3x-y取得最小值時(x,y)=
(-1,0)
(-1,0)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),則
y+3
x+2
的最大值與最小值的和為
28
3
28
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實(shí)數(shù)x,y滿足
y≤1
y≥|x-1|
,則3x-y的最大值是
5
5

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案