Question

【題目】已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）若過(guò)且與直線垂直的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化即可得直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;

(2)根據(jù)直線與直線垂直且過(guò),可得直線的參數(shù)方程.將直線的參數(shù)方程與曲線聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及參數(shù)方程的幾何意義即可求得.

(1)由直線極坐標(biāo)方程為,即,

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,可得直線直角坐標(biāo)方程：,

由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,則,

整理得橢圓的普通方程為.

(2)由已知直線與垂直,所以直線的傾斜角為,

直線的參數(shù)方程為,即（為參數(shù)）,

把直線的參數(shù)方程代入

化簡(jiǎn)得

設(shè),是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,則有

又直線過(guò)點(diǎn)

故由上式及的幾何意義得