Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x3－2ax＋a.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＋|2－a|＞0.

 

Answer 1

(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)見解析

【解析】(1)由題意得f′(x)＝12x2－2a.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．

當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝12，

此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)證明：由于0≤x≤1，故當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.

當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.

設(shè)g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，則

g′(x)＝6x2－2＝6.

于是

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	減	極小值	增	1

所以g(x)min＝g＝1－＞0.

所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x3－2x＋1＞0.

故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.